手头没有双网卡的机子，不过我从理论上研究了一下你的问题。大概可以给你提供一个思路。
网络数据要从源地址到目的地址，中间经过了很多路由器，路由器的功能是为网络数据寻找正确的传输路径，具体可以看我的另一个回答。
网络信息怎么在网线里传播的？270 赞同 · 45 评论回答我在那个答案里没有详细说的一点是路由的细节。比如说你发给百度的数据和发给阿里的数据，目的地是显然不同的，那么流量如何判别自己往哪里发送呢。答案是通过路由表，每个主机以及路由器中都维护了一个路由表，他类似于这样的格式（实际还维护了子网掩码等其他域）：
IP地址| 下一跳
48.27.x.x |27.12.x.x
这样路由就知道把发到某个IP的地址发到哪个下一跳路由去。这样每个路由接力，就把你的数据发到了目的地。但是互联网的主机数量十分庞大，40亿的量级，如果每个路由器都维护了所有主机的路有数据，那么路由表的数据过于庞大（每个地址1字节也得占用256TB），而且路由需要查这么庞大一个表，也很慢。为了解决这个问题，引入了网络掩码和默认网关概念，子网掩码的概念我就不解释了，可以参见我这个答案：
子网掩码与ip地址有实际关系吗？33 赞同 · 0 评论回答而默认网关，就是指默认的下一跳地址，就是当你路由查询了路由表之后，发现没有精确匹配的值，那就把默认网关当做下一跳地址。因为一般家用路由实际上只有一个wan口，所以实际上所有数据的下一跳路由都是默认网关，也就是所有的数据都会被发送到这个网关去。
在windows里，默认网关这么查看，打开win7控制面板，网络，更改适配器设置，
注意，你下面这张图应该至少有两个设备，其中一个是蓝牙：
之后能看到这个页面。
问题是，路由表工作在网络层的协议，也就是说在工作在应用层的firefox，你不能控制它流量的下一跳地址，但你可以在网络层修改发往哪个IP的流量通过哪个网关发送，就是修改路由表。
你在这里提到了，你们公司的网络限制了很多网站的访问，你可以ping那些网站，拿到这些网站的IP地址，然后在路由表里添加相关的路由数据，设置所有的流量默认网关是公司网络网关，之后你把公司网络不能访问的网站的IP添加到路由表里面，让他走你蓝牙设备的网关。这样根据最长匹配原则，那些特定IP会走蓝牙，其他数据会走公司网络。可以最大限度减少蓝牙网络的使用。
具体怎么修改window的路由表，请参见谷歌，提供一个网址供参考：
Windows路由表配置：双网卡同时上公司内外网 - CSDN博客blog.csdn.net/zxs9999/article/details/重申：因为手头没有双网卡设备，而且还是MacOS，所以无法验证，期待你的验证结果……
简单的说，windows，以及绝大多数操作系统，路由选择是通过路由表做出的。显然路由表并没有工作在应用层。
所以你需要在应用层做一些work around。比如一个方案是，把公司网络设置为默认网关，然后在手机上运行一个代理服务器，ff走这个代理。
你可以试试装一个本地代理软件，部分应用软件通过代理走