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关系：
先来刷一大堆定义。。
称为集合X与集合Y的笛卡尔积，记作XY，读作X叉乘Y。其中（x,y) 是一个有序偶。有序偶：单点集A（条件一)和≤两个元素组成的(条件二） 集合B，组成集族, 如果满足（条件三），则成为一个有序偶，记作（x,y)，其中：x为满足的惟一元素，y为满足的惟一元素。
注意：3. 如果集合,则称R是从X到Y的一个关系（two simple examples of R：和 空集），R是有序偶的集合。
如果,则称x与y是R-相关的，记作xRy。如果则Y的子集称为集合A的R-像，记作R(A)。R（X）成为关系R的值域。4. 对于3.中的关系xRy，的子集成为关系R的逆，记作
.
如果,那么x的子集是集合B的像，或称为：R-原像。（Y）也称为关系R的定义域。5.对于,设是的一个子集，称其为R与S的复合或积。
6.称为的笛卡尔积，其中称为有序n元素组， 称为笛卡尔积的第i个坐标集。
定理一：设：xRy，ySz，zTv，则:
定理二：设xRy， ySz，则
(这两条定理的证明比较显然就不写啦...根据定义把LHS和RHS分别演算一下然后相等就行了）
等价关系：
恒同（关系）/对角线：从集合X到集合X的一个关系：
满足（1）自反性，（2）对称性与（3）传递性，是X中的一个等价关系。#这个也是等价关系的定义。
嗯...关于这三条性质先瞎xx讲讲故事8.
定义等价关系，首先要明确的是自反性。否则你想象一下，你看山不是山，看水不是水。名可名，非常名（划掉）那还van个球啊。再比方说对应到群的性质中就是幺元的概念。
然后我们要确定对称性，emm比方说：A满足是B的同桌的性质，则反过来B也必须是A的同桌。这一条可以对应群里面的逆元的概念。
最后再说传递性，拿室友举个例子:如果A是B的室友，B是C的室友，则A必然也是C的室友，那么室友这一性质就满足了传递性。但是A喜欢B，B喜欢C就不是一个具有传递性的性质....否则画面实在太哲♂学。。（迫真もうそんなんじゃホラ，心(こころ)は进化(しんか)するよ もっともっと...)这个可以对应群论里面的结合律。
现在给出这些性质的公理化定义[1]：
自反性：
在全集U中所有子集的集合中，包含关系 是自反的，相等关系=也是自反的；但是，真包含关系 不是自反的，整数集合Z中，关系≤是自反的，而关系<不是自反的。
反自反性：
由定义说明中可知真包含关系 是反自反的，但包含关系不是反自反的；小于关系是反自反的，而≤不是反自反的。
存在既不是自反的也不是反自反的二元关系。
对称性：
该定义表明了，在表示对称的关系R的有序对集合中，若有有序对<x,y>，则必定还会有有序对<y,x>。
在全集U的所有子集的集合中，相等关系是对称的，包含关系和真包含关系都不是对称的；在整数集合Z中，相等关系=是对称的，而关系≤和<都不是对称的。
反对称性：
该定义表明了，在表示反对称关系R的有序对集合中，若存在有序对<x,y>和<y,x>，则必定是x=y。注意，若R中对u<x,y>处处不出现<y,x>,则仍满足反对称性（比方说＜）
在全集U的所有子集的集合中，相等关系=，包含关系和真包含关系都是反对称的，但全域关系不是反对称的．在整数集合Z中，=，≤和<也都是反对称的。
传递性：
该定义表明了，在表示可传递关系R的有序对集合中，若有有序对<x,y>和<y,z>，则必有有序对<x,z>。
显然，上述提到的关系中包含，真包含，≤，<，=都是传递的，在直线的集合中，平行关系是传递的，但垂直关系不是传递的。
（为了加深理解，可以列出一个集合，对于其中一些运算验证以上性质的定义）
PS：在有正常的直觉的基础上，千万不必处处套用公理化定义判断orz
设R是集合X中的一个等价关系，对，如果xRy，则称x与y是（R-）等价的。
等价类：X的子集,记作或。
商集：称为集合X对于等价关系R而言的商集，记作X/R。
定理一（等价关系是把非空集合划分成两两互不相交的等价类的分类原则）：
设R是非空集合X中的一个等价关系，则：
如果，则,因而不为空。（证：由x有自反性可得） ,则或者;或者 Ø（证：由等价关系的三条性质显然.)相关：
群论中的商群（参考商集）初等数论中的模p同余类（等价关系）解析几何中的自由向量（等价关系）将固定向量定义为n维Euclidean Space中的有序n元素组在全体固定向量构成的集合X中定义一个关系T，使得对固定向量x，y有xTy当且仅当x能够通过平移与y重合T是X中的一个等价关系.