这是个很老的话题了。
跟其他拟合参数问题一样，说白了无非就是个求最小化。既然是优化问题，就设计如何选取目标函数，比较常见的比如模型值跟市场可观察值的最小方差和，或者在前面加个权重：
利率曲线的拟合的主要问题是：远期利率曲线（forward curve）与贴现因子（discount factor）并不是一对一，而是多对一的映射。
在拟合模型上，可分为回归模型、经验模型和均衡无套利模型。
回归模型相对是比较粗糙，他关心的是到期收益率。他直接拟合的市场上所选金融产品的Yield-to-Maturity：
属于该类型模型比如有Bradley-Crane，Elliot-Echols等模型。
均衡无套利模型是动态拟合，利用随机过程假设即期利率， 通过即期利率就可以有贴现因子的分析式子。很多均衡模型是单因子模型，即假设该单因子可以解释利率曲线。常见的有Vasicek 模型，CIR模型，Dufffie-Kan 模型。
比如Vasicek模型中，假设即期利率服从随机过程
, 其中
利用Ito公式便可以推出价格与贴现因子的表达式。
接下来，本文重点介绍的是经验模型，即所谓的静态拟合问题。
静态拟合模型技术上主要分为两大类：含参数模型和非参数模型。含参数模型是对利率曲线的形状是基于某个假设的。市场上比较流行的便是Nelson-Siegel以及其拓展 Nelson-Siegel-Svensson模型。中债用的hermit插值，中证用的样条模型等。这些技术资料在网上很详细。
对于非参数模型，即不对远期曲线形状不做任何假设，只要满足该拟合出来的曲线足够平滑，便OK了。在利率市场上，远期利率是分段的（piecewise constant），那么如何可以直接拟合出一条平滑的piecewise constant的远期曲线呢。芝加哥大学的 Thomase Coleman（文献）给出了较为详细的解释。
给出一条forward curve，便可以计算一支债券的现值
其中是该债券待支付的票息或本金，是其对应的时间。根据远期曲线的期限结构，贴现因子为
,假设一共有N个tenor, 该贴现因子的离散形式有, 其中是对 第 i 个libor的权重。
在如何选取目标函数上，考虑到远期利率曲线的经济含义，一般可以三部分，fit error本身（least square），曲线总体斜率的度量 Energy，曲线总体弯曲度的度量。
该模型最大的好处就是灵活。尽管很多机构喜欢NSS/NS，但是他对Bonds curve拟合是不错的，很多央行都用该模型，但是他对swaps curve就比较差强人意了。
我对利率模型是认知比较肤浅，一开始便直接接触该无参数模型，对优化算法的理解不足，特别是目标函数对各个LIBOR的偏导。一开始也对权重的选择也模糊，是modified duration的倒数还是PV01的倒数，对dirty price 对YTM还是clean price呢。在swaps curve中，对金融产品 FRA，Swap等现金流认识也模糊，而在dual curve pricing上，在权重的考虑上则更加麻烦。
在实例中，以3月23日（市场波动比较大）德国国债市场和EURIBOR Swaps市场为市场数据。在下面的德国国债利率拟合曲线中NS和NSS几乎是一致的。无参数piecewise constant模型可以在技术上同时实现更平滑（总体平滑度值跟小）和误差更小。
bond curves比较NSS 模型 bond curvePiecewiese constant 模型 bond curve在swaps curve上，NSS因为比NS模型多了2个参数，可以实现更多的弯曲。Piecewise constant 无参数模型在平滑度上做点牺牲，却在拟合误差，特别是近期swaps上，远远比NSS模型小得多。
swap curves 比较nss 模型 swap curve piecewise constant模型 swap curve参考文献：
Fitting Forward Rates to Market Data, Colemanpapers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=